Ett stämningssystem (även kallat temperatur, temperering eller stämning) är det system som tonerna på ett musikinstrument stäms efter. Genom historien har det funnits många olika stämningssystem, men det är bara en liten del av dem som använts i större utsträckning. Idag används i stort sett enbart liksvävande stämning (eller liksvävande temperatur).

I den här artikeln tas några av de mest betydelsefulla stämningssystemen upp, i kronologisk ordning, med de äldsta först. De är viktiga att känna till, för att de hjälper till att ge djupare insikter om det stämningssystem vi använder idag, och för att deres inbördes olikheter gjorde att ett musikstycke lät annorlunda förr i tiden än det gör idag, när vi spelar med liksvävande stämning.
Artikeln behandlar bara stämningssystem som har använts inom det västerländska tolvtonssystemet, där oktaven delas in i tolv olika halvtoner. I andra delar av världen används andra tonsystem (i de flesta länder i mellanöstern delas oktaven till exempel in i fler än tolv toner), och till dem används helt andra stämningssystem.


1. Introduktion
Alla stämningssystem baseras på övertonsserien, som uppstår när något, till exempel en gitarrsträng, sätts i svängning. Utöver att strängen svänger längs hela sin längd (den egentliga tonen), svänger den också sekundärt längs hälften av sin längd (första övertonen), en tredjedel av sin längd (andra övertonen), en fjärdedel av sin längd (tredje övertonen), och så vidare. Dessa sekundära svängningar bildar svagt ljudande övertoner som klingar tillsammans med den egentliga tonen, och de utgör tillsammans övertonsserien.
Den första övertonen har dubbelt så många svängningar per sekund som grundtonen, det vill säga en dubbelt så hög frekvens mätt i hertz. Den andra övertonen har tre gånger så hög frekvens, tredje övertonen fyra gånger så hög frekvens, och så vidare.

Här är de fem första övertonerna till tonen c:


Övertonerna bildar olika intervall, om man ser dem i förhållande till varandra, och redan i antikens Grekland räknade man ut frekvensförhållandet mellan dem, det vill säga skillnaden i antalet svängningar per sekund.
Avståndet mellan grundtonen och den första övertonen är på en oktav, och då den första övertonen har dubbelt så hög frekvens som grundtonen, säger man att frekvensförhållandet är 2:1. Avståndet mellan den första och andra övertonen är på en ren kvint, och då första övertonen har dubbelt så hög frekvens som grundtonen, och andra övertonen tre gånger så hög frekvens som grundtonen, är kvintens frekvensförhållande 3:2. Man ska alltså multiplicera en given tons frekvens med 3:2 (= 1,5) för att få kvintens frekvens.

På samma sätt räknar man ut frekvensförhållandena mellan de övriga intervallen i övertonsserien. De fem första intervallens frekvensförhållanden framgår av tabellen nedan.

Intervall Frekvensförhållande Decimalform Cent
Oktav 2:1 2 1200
Kvint 3:2 1,5 701,96
Kvart 4:3 1,333 498,04
Stor ters 5:4 1,25 386,31
Liten ters 6:5 1,2 315,64

Övertonerna är ett naturligt fysiskt fenomen, och deras frekvensförhållanden är därför fullständigt rena. Man har därför alltid strävat efter att stämma musikinstrument efter samma frekvensförhållanden som man hittar i övertonsserien. Det skapar dock, som vi ska se i avsnitten om de olika stämningssystemen, ett antal problem, eftersom det inte går att stämma alla intervallen helt rena om man samtidigt vill att det ska gå jämnt upp i exakt tolv olika toner.

Övertonsserien innehåller fler intervall än de fem som står i tabellen ovan, men de har inte haft så stor betydelse för de olika stämningssystemen. Oktaven, kvinten och de två terserna har setts som de viktigaste intervallen att stämma efter.

Normaltonen
Alla stämningssystemen har utgått (och utgår) från normaltonen, som idag är bestämd till en frekvens på 440 hertz (Hz). Normaltonens frekvens har dock varierat en aning genom historien, så utgångspunkten har inte alltid varit 440 Hz.

För överskådlighetens skull är alla frekvensexempel i den här artikeln uträknade utifrån ett c på 261,63 Hz, motsvarande frekvensen på nutidens ettstrukna c (nyckelhåls-c). Det betyder att frekvensen på normaltonen varierar lite i de olika stämningssystemen, men i gengäld blir de lättare att jämföra, eftersom de alla har samma utgångspunkt.

Vargkvint
Termen vargkvint används återkommande i artikeln om en kvint som låter väldigt falsk. Beteckningen uppstod redan under den europeiska medeltiden, förmodligen för att de mycket falska intervallen påminner om en vargs ylande.

Cent
Stämningssystemens olikheter visas bäst med hjälp av så kallade cent, en musikteoretisk måttenhet som används för att ange avvikelsen i frekvens mellan två toner i ett intervall. 100 cent motsvarar en av nutidens halvtoner, och på ett vanligt piano har de olika tonerna inom en oktav därför (mätt från grundtonen) centvärdena:
0, 100, 200, 300, 400, 500 … 1200
Grundtonen har alltså centvärdet 0, medan oktaven har centvärdet 1200. Det stämmer också bra med att det går 12 halvtoner på en oktav, och att 12 gånger 100 cent är just 1200 cent.

Avståndet n i cent mellan två toner a och b angivna i hertz, kan räknas ut med följande logaritmiska formel:


Funktionen log2(x) är en logaritmfunktion med basen 2. Vill man räkna ut värdena på en miniräknare utan inbyggd log2-funktion kan man istället använda formeln:


Avtåndet i cent mellan två toner på 330 Hz respektive 200 Hz är därför:

Vilket motsvarar sju halvtoner.

2. Pythagoreisk stämning
Den pytagoreiska stämningen är det äldsta stämningssystemet man känner till. Enligt legenden härrör uppkomsten av det från den grekiska matematikern och filosofen Pythagoras (582 - 507 f.kr.), men det finns inga bevis för det. Den äldsta beskrivningen av stämningssystemet finns hos den grekiska matematikern Euklides (ca. 325 - 265 f.kr.), men senare skrev också många andra grekiska musikteoretiker från den pythagoreiska skolan om det. Via den romerska filosofen och musikteoretikern Boëthius (480 - 524 e.kr.) fortsatte användandet av den pythagoreiska stämningen till den europeiska medeltiden (omkring år 500). Här användes det till omkring år 1500, när andra stämningssystem började dyka upp.

Den pythagoreiska stämningen utgår från att alla oktaver och kvinter ska vara rena, det vill säga stämmas med frekvensförhållandena 2:1 och 3:2. I praktiken väljer man dock en viss ton som grundton som man sedan stämmer elva rena kvinter upp eller ner utifrån. Här är fem rena kvinter nedåt, och sex rena kvinter uppåt, med c som grundton, och därmed är samtliga tolv toner stämda:


När man kommer till en ton placerad i en annan oktav än den utvalda grundtonen, dividerar eller multiplicerar man helt enkelt tonens frekvens med oktavens frekvensförhållande (2:1), för att flytta upp eller ner den till samma oktav som grundtonen. Redan efter att ha stämt två rena kvinter uppåt blir det nödvändigt att göra:


När alla tonerna i en oktav har sämts, multipliceras eller divideras alla frekvenserna med oktavens frekvensförhållande för att stämma tonerna i de övriga oktaverna.

Man stöter dock på problem med den här stämningen. Den sist stämda tonen, det vill säga tonen som ligger längst till höger i serien av rena kvinter, har nämligen ingen ren kvint. Stämmer man exempelvis elva rena kvinter upp från grundtonen ab, landar man på tonen c#. Den rena kvinten till tonen c# är tonen g#:


Alla tolv toner har dock redan stämts, så därför låter man tonen ab vara den rena kvinten till c#. Nu för tiden är vi vana vid att g# och ab är samma ton, men i den pythagoreiska stämningen skiljer de sig åt. Tonen g# är faktiskt hela 23,46 cent, nästan en kvarts halvton, högre än tonen ab:

Det här felet i systemet kallas för det pythagoreiska kommat, eller Pythagoras komma. Man skulle kunna låta g# och ab vara två olika toner på musikinstrumenten, men det skulle göra dem mycket svårare att spela på - och det skulle kräva ännu fler nya toner, eftersom en ren kvint upp från g# i sin tur kräver en ny ton, som i sin tur kräver en ny ton, och så vidare. Resultatet blir därför en vargkvint mellan c# och ab, som är 23,46 cent, nästan en kvarts halvton, för låg, och som därför låter mycket falsk:

Genom att välja en annan ton som utgångspunkt när man stämmer, eller genom att stämma med en annan kombination av rena kvinter uppåt och nedåt, kan man flytta vargkvintens position, men den kommer alltid att finnas någonstans i systemet. I exemplet här har man stämt fem rena kvinter nedåt och sex rena kvinter uppåt från grundtonen c, och vargkvinten befinner sig därför mellan f# och db:


Så länge man bara undviker att spela vargkvinten är den dock inget problem, men det betyder att man inte kan spela i de tonarter där den kvinten ingår i tonmaterialet. Det är ett stort problem. Ett annat stort problem med den pythagoreiska stämningen är att de stora terserna generellt är för höga (de flesta är 21,51 cent för höga), och de små terserna är för låga (de flesta 21,51 cent för låga), vilket gör att till och med helt vanliga klanger låter lite falskt:

Det sista problemet med den pythagoreiska stämningen är att de enskilda tonarterna inte låter likadana, eftersom det är skillnad på stegens frekvensspann i de olika tonarterna. Ett musikstycke kan därför inte omedelbart moduleras till en annan tonart, utan att det också ändrar klang och karaktär. Men det är också på sätt och vis en fördel, eftersom man då kan komponera ett stycke i en viss tonart, och på så sätt ge det en särskild klang och karaktär beroende på vilken tonart man väljer.

Man kan variera stämningen av de enskilda tonerna lite grann, beroende på om man väljer att enbart stämma rena kvinter uppåt från grundtonen, bara rena kvinter nedåt, eller om man väljer en kombination. Stäms till exempel elva rena kvinter uppåt från grundtonen eb får man följande toner:


Stämmer man däremot fem rena kvinter nedåt och sex rena kvinter uppåt från eb, får man den här tonserien:


Tonerna eb - bb - f - c - g - d - a har samma frekvens i båda stämningarna, men de övriga tonernas frekvens skiljer sig alla med 23,46 cent (det pythagoreiska kommat). Det beror på att, som vi har sett med vargkvinten, det är en skillnad på just 23,46 cent mellan en ton med #-förtecken och en ton med b-förtecken (tex. g# och ab, eller c# och db). Om man exempelvis vill bestämma frekvensskillnaden mellan tonerna c och db, går man fem kvinter nedåt (c - f - bb - eb - ab - db) och tre oktaver upp. Vill man däremot bestämma frekvensskillnaden mellan tonerna c och c#, går man sju kvinter uppåt (c - g - d - a - e - b - f# - c#) och fyra oktaver ner. Det ger två olika resultat, båda med 23,46 cents avvikelse.

Tabellen nedan visar centvärdena för pythagoreisk stämning, där man från grundtonen c har stämt fem rena kvinter nedåt och sex rena kvinter uppåt.
Ton c db d eb e f f# g ab a bb b c
Cent 0 90,22 203,91 294,13 407,82 498,04 611,73 701,96 792,18 905,87 996,09 1109,78 1200
Frekvens (Hz) 261,63 275,62 294,33 310,07 331,12 348,83 372,51 392,44 413,43 441,49 465,11 496,68 523,25

Lägg märke till att enligt de helt rena frekvensförhållandena i övertonsserien, borde den stora tersen (tonen e) ligga på 386,31 cent, och den lilla tersen (tonen eb) på 315,64 cent. De två terserna avviker alltså med 21,51 cent vardera i den pythagoreiska stämningen.
Vargkvinten befinner sig mellan f# och db. En ren kvint (701,96 cent) uppåt från f# borde ge 611,73 + 701,96 = 1313,69 cent. Läggs tonen db en oktav (1200 cent) uppåt landar man på 90,22 + 1200 = 1290,22 cent. Det är en skillnad på 23,47 cent, motsvarande det pythagoreiska kommat på 23,46 cent (dock med 0,01 cents avrundningsfel).

3. Ren stämning
Omkring år 1500 började en ny stämning, kallad ren stämning, att ta form. Det var den spanska matematikern och musikteoretikern Ramos de Pareja (ca. 1440 - 1522) som i sitt traktat Musica Pratica 1482 för första gången skrev om den. Där man i den pythagoreiska stämningen bara stämde kvinter och oktaver rent, stämmer man i ren stämning också de stora och små terserna rent, det vill säga med ett frekvensförhållande på 5:4 respektive 6:5. Därigenom löser man problemet med de avvikande terserna i den pythagoreiska stämningen.

Eftersom det i praktiken är omöjligt att få alla oktaver, kvinter och terser att vara rena, försöker man bara att få så många som möjligt av de viktigaste treklangerna kring en given grundton att vara rena. Det betyder att den rena stämningen fungerar bra i den givna grundtonens tonart, men att alla andra tonarter låter mer eller mindre falskt, eftersom intervallen i de tonarterna är falska. Det har därför stor betydelse vilken grundton man väljer att stämma efter i den rena stämningen.

När man har valt en grundton att stämma efter, stämmer man först en serie av tre uppåtgående kvinter, med början en kvint under grundtonen. Med c som grundton ger det följande fyra toner:


Från den första tonen i kvintserien (tonen en kvint under grundtonen) stäms en ren stor ters uppåt (frekvensförhållande 5:4), och den nya tonen blir nu utgångspunkten för en ny serie av tre uppåtgående rena kvinter. Med c som grundton ger det tonerna:


Åtta av de totalt tolv tonerna är nu stämda. Liksom med den pythagoreiska stämningen, dividerar eller multiplicerar man bara en tons frekvens med oktavens frekvensförhållande om den ligger i oktaven över eller under grundtonen. På så sätt ser man till att man till att börja med stämmer alla toner inom en och samma oktav.

De sista fyra tonerna kan stämmas på flera olika sätt. Vilken metod man väljer beror på vilka ackord man vill ska låta rena.
I den första metoden stämmer man en stor ters (frekvensförhållande 5:4) nedåt från den första tonen i den första kvintserien (tonen en ren kvint under grundtonen), och den nya tonen blir sedan utgångspunkten för en ny serie av tre uppåtgående rena kvinter. Det kan illustreras på följande sätt:

Följande durackord är fullständigt rena med den här metoden: Db, Ab, Eb, F, C och G.

I den andra metoden stämmer man en ren stor ters uppåt från den första tonen i den andra kvintserien, och den nya tonen blir sedan utgångspunkten för en ny serie av tre uppåtgående rena kvinter. Det kan illustreras på följande sätt:


Följande durackord är fullständigt rena med den här metoden: F, C, G, A, E och B.

Den tredje metoden är en kombination av de första två, där man väljer att använda två toner från var och en av de två tidigare metoderna. Det gör man genom att både stämma en stor ters uppåt från den första tonen i den andra kvintserien, och en stor ters nedåt från tonen en kvint över grundtonen. Metoden kan illustreras på följande sätt:


Följande durackord är fullständigt rena med den här metoden: Eb, F, C, G, A och E.

I den rena stämningen är nio av kvinterna rena med metod 1 och 2, medan åtta av kvinterna är rena med metod 3. De resterande tre eller fyra kvinterna är vargkvinter, och alla placerade vid övergången till en ny kvintserie. De låter alla väldigt falskt, och är därför oanvändbara i den mesta musik. Vargkvinternas position och avvikelse i cent anges på illustrationen ovanför varje metod.
Vargkvinten mellan d och a avviker exempelvis med 21,5 cent:

Sex av de stora terserna är rena med varje metod, och då det alltid är i samband med en ren kvint, har man alltid sex helt rena durackord i den rena stämningen. De resterande sex terserna är generellt för höga och låter inte bra.

Trots de många vargkvinterna och de falska terserna, är alla de skalegna ackorden i grundtonens skala, andrastegsackordet undantaget, faktiskt fullständigt rena. I C-dur är ackorden C, Em, F, G, Am och Bm alltså fullständigt rena. Dm-ackordet är dock inte ren, eftersom dess kvint är för låg.

Om man vill att Dm-treklangen ska låta ren, måste man offra bland annat F-dur-treklangen genom att stämma tonen a 21,51 cent högre, men det är inte att rekommendera, då F-dur harmoniskt är ett viktigare ackord än D-moll. Man kan alltså inte ens ta fram en diatonisk skala där alla treklangerna är helt rena.

Sammantaget är den rena stämningen riktigt bra, om man bara håller sig till den tonart som instrumentet är stämt i (det vill säga tonarten med den grundtonen man har stämt efter). Om man däremot spelar i en annan tonart börjar det fort att låta illa. Ju färre toner en tonart har gemensamt med den tonart man stämt efter, desto värre blir det, men till och med nära besläktade tonarter med nästan samma tonmaterial kan låta falska. Nedan är ett exempel på en fullständigt ren C-durkadens (ackordföljd) i c-durstämning. Spelar man en D-durkadens i samma stämning låter särskilt A-durackordet falskt, men inte heller D-durackordet är helt rätt. Förklaringen är att de två ackorden använder tonmaterial (tonerna c# och f#) som inte finns med i tonarten c-dur:

Tabellen nedan visar centvärdena för ren stämning, där man använt metod 1.
Ton c db d eb e f f# g ab a bb b c
Cent 0 111,68 203,91 315,64 386,31 498,04 590,22 701,96 813,69 884,36 1017,6 1088,27 1200
Frekvens (Hz) 261,63 279,07 294,33 313,95 327,03 348,83 367,91 392,44 418,60 436,04 470,93 490,55 523,25


4. Medeltonsstämning
I början av 1600-talet blev medeltonsstämningen populär i Europa. Det var den italienska musikteoretikern Pietro Aron (1489 - ca. 1545) som 1523 för första gången nämnde detta stämningssystem. De första matematiskt exakta beskrivningarna av stämningssystemet kom dock först i slutet av 1500-talet, från spanjoren Francisco de Salinas (1513 - 1590) och italieraren Gioseffo Zarlino (1517 - 1590).
Det finns många olika varianter på medeltonsstämningen, bland annat 1/5-komma-medelton, 1/4-komma-medelton (uttalas kvartskommamedelton), 1/3-komma-medelton och 2/7-komma-medelton. 1/4-komma-medeltonsstämningen är dock den allra mest välanvända varianten, och det är därför också bara den som beskrivs i det här avsnittet.

I 1/4-komma-medeltonsstämningen stäms alla oktaver rent (frekvensförhållande 2:1), och så många som möjligt av de stora terserna stäms rent (frekvensförhållande 5:4). Terserna görs rena på bekostnad av kvarterna och kvinterna, som i gengäld blir en aning falska.

Om man stämmer fyra rena kvinter uppåt (och två rena oktaver nedåt) från en given grundton, till exempel c (c - g - d - a - e), blir alla fyra kvinterna helt rena, men det stora tersen mellan c och e är 21,51 cent för hög. Det var så man stämde i den pythagoreiska stämningen, och den 21,51 cent för höga tonen har därför fått namnet pythagoreisk ters. Den här skillnaden på 21,51 cent mellan en pythagoreisk ters och en ren stor ters kallas för den syntoniska kommat:

Eftersom man i medeltonsstämningen gärna vill att den stora tersen ska vara helt ren, stämmer man de fyra kvinterna lite för låga, så att de tillsammans ger en ren stor ters. Varje kvint sänks med en fjärdedel av den syntoniska kommat (därav namnet 1/4-komma-medelton).

De med 1/4-kommat sänkta kvinternas frekvensförhållande måste nu räknas ut, så att stämningen kan utföras i praktiken. Efter fyra uppåtgående kvinter sänkta med ett 1/4-komma, når man den rena stora tersen, och vi vet att den också kan nås genom att stämma två rena oktaver och en ren stor ters uppåt:


Oktavernas och den rena stora tersens frekvensförhållande känner vi ju till, så via exemplet till höger kan vi nu räkna ut vilken faktor frekvensen har ökat med från grundtonen (c) till den stora tersen (e) två oktaver + en stor ters uppåt. Det gör man med följande formel:
oktavens frekvensförhållande oktavens frekvensförhållande den stora tersens frekvensförhållande = (2:1) (2:1) (5:4) = 20:4 = 5

Den stora tersen som ligger två oktaver + en ren stor ters över grundtonen har alltså en fem gånger högre frekvens än grundtonen. Därför vet vi att efter fyra uppåtgående kvinter sänkta med 1/4-komma, har frekvensen femdubblats. Vi måste alltså hitta ett tal som upphöjt i fyra, det vill säga multiplicerat med sig själv fyra gånger, blir 5. Det talet anger frekvensförhållandet mellan var och en av de fyra 1/4-komma-sänkta kvinterna. Talet, här kallat k, räknas ut med en potensregel:
k4 = 5 k = (= 1,4953487812212205)
De 1/4-komma-sänkta kvinternas frekvensförhållande är alltså lika med fjärderoten ur fem.

Efter att ha valt ut en grundton att stämma från, stämmer man i regel tre kvinter nedåt och åtta kvinter uppåt. Alla kvinterna stäms i förhållandet , och en ton oktaveras upp eller ner med oktavens frekvensförhållande på 2:1 om den ligger i oktaven under eller över grundtonen. Med c som grundton stäms alltså följande toner:


Alla ackorden från eb till e har fullständigt rena stora terser, men i gengäld är de resterande fyra stora terserna hela 41,06 cent för höga. De är så falska att de är i stort sett oanvändbara, och det gör det omöjligt att använda vissa tonarter. Det finns dessutom en för hög vargkvint mellan g# och eb, som uppstår eftersom en serie kvinter sänkta med 1/4-kommat inte går jämnt upp i tolv toner. Vargkvinter är 37,63 cent för hög, och därför mycket falsk:

Lägg märke till att vargkvintens position kan flyttas runt beroende på vilken grundton man väljer, och beroende på vilken kombination av uppåtgående och nedåtgående kvinter man väljer att stämma efter.

Sammanlagt är det bara runt hälften av alla tonarter som är användbara i medeltonsstämningen, men det är faktiskt många, om man jämför med de tidigare stämningssystemen. I alla tonarter med upp till tre förtecken har alla tonerna i durskalan samma relativa avstånd, och det betyder att man nu för första gången kan modulera musikstycken fritt mellan ett stort antal tonarter, utan att de byter klang och karaktär.
Från perioden med medeltonsstämning har man dock hittat flera musikstycken i bland annat F-moll (med fyra b-förtecken), där den lilla tersen är 46,46 cent, nästan en kvartston, för låg. Det tyder på att man inte bara har använt de renaste tonarterna, med upp till tre förtecken, utan att man också bevisligen har utnyttjat de olika klangfärger och uttryck som de mer orena tonarterna har haft.

Tabellen nedan visar centvärdena för 1/4-komma-medeltonsstämning, när man från grundtonen c har stämt tre kommaförminskade kvinter nedåt och åtta kommaförminskade kvinter uppåt.
Ton c c# d eb e f f# g g# a bb b c
Cent 0 76,05 193,17 310,26 386,31 503,45 579,47 696,60 772,63 889,75 1006,85 1082,89 1200
Frekvens (Hz) 261,63 273,37 292,51 312,98 327,03 349,92 365,63 391,22 408,79 437,40 468,01 489,03 523,25


Vältempererad stämning
I slutet av 1600-talet gick man över till att använda vältempererade stämningar, som skiljer sig från de tidigare stämningssystemen i att man kan spela i alla de olika tonarterna. Det beror på att det inte längre finns några tonarter som låter väldigt falskt. Men det är fortfarande stor skillnad på hur de olika tonarterna låter.

Det finns flera olika vältempererade stämningssystem, varav några av de mest kända konstruerades av tysken Johann Philipp Kirnberger (1721 - 1783), engelsmannen Thomas Young (1773 - 1829) och den tyska organisten och musikteoretikern Andreas Werckmeister (1645 - 1706). Werckmeisters stämningssystem är bland de mest använda. Han konstruerade sammanlagt fyra olika stämningssystem, som lite förvirrande kallas både Werckmeister I, II, III respektive IV och Werckmeister III, IV, V respektive VI. Det här avsnittet tar bara upp Werckmeister I (III) och Werckmeister III (V), båda från 1681.

Werckmeister I (III)
Werckmeister I är baserat på rena oktaver och rena kvinter, och enligt Werckmeister själv passar den här stämningen särskilt bra till kromatisk musik. Som vi såg om den pythagoreiska stämningen är det dock inte möjligt att stämma alla kvinterna helt rena. Om en serie rena kvinter ska gå jämnt upp i tolv toner, måste en av kvinterna vara 23,46 cent för låg, annars går det inte ihop.
Det här felet på 23,46 cent fördelar Werckmeister på fyra kvinter, så att alla de fyra kvinterna förminskas med en fjärdedel av 23,46 cent, det vill säga 5,865 cent vardera. De förminskade kvinterna låter lite falska, men de är ändå användbara:

De fyra förminskade kvinterna i Werckmeister I har var och en frekvensförhållandet:
(= 1,49492696)

I praktiken stäms tre kvinter nedåt och åtta kvinter uppåt från en given grundton. De förminskade kvinterna placeras som nummer 1, 2, 3 och 6 i den uppåtgående serien, vilket med c som grundton motsvarar kvinterna mellan tonerna c-g, g-d, d-a och b-f#:


De fyra förminskade kvinterna är alla 5,865 cent för låga, medan resten av kvinterna är helt rena. De övriga intervallens renhet varierar också. Den stora tersen mellan c och e är exempelvis 3,9 cent för hög, den stora tersen mellan c# och f är 21,5 cent för hög, och går man en liten ters upp från grundtonen, är den 21,5 cent för låg. I gengäld finns det inte längre någon vargkvint, så även om vissa tonarter är hörbart rena än andra, finns det ingen som låter så falskt att den inte kan användas.

Tabellen nedan visar centvärdena för Werckmeister I.
Ton c c# d eb e f f# g g# a bb b c
Cent 0 90,21 192,17 294,11 390,21 498,02 588,29 696,08 792,16 888,27 996,08 1092,19 1200
Frekvens (Hz) 261,63 275,62 292,34 310,07 327,77 348,83 367,50 391,11 413,43 437,03 465,11 491,66 523,25

Werckmeister III (V)
Werckmeister III bygger på samma principer som Werckmeister I, men är jämnare, och den påminner därför mycket om liksvävande stämning. I Werckmeister III är fem kvinter förminskade med samma värde (5,865 cent) som de fyra förminskade kvinterna i Werckmeister I. Deras frekvensförhållande är därmed också .

Som i Werckmeister I stämmer man också i Werckmeister III tre kvinter nedåt och åtta kvinter uppåt från grundtonen. De förminskade kvinternas position har dock flyttats, och är nu den första nedåtgående kvinten, och uppåtgående kvinter nummer 3, 4, 7 och 8. Med c som grundton motsvarar det kvinterna mellan tonerna f-c, d-a, a-e, f#-c# och c#-g#:


Den extra förminskade kvinten jämfört med Werckmeister I resulterar i en kvint mellan g# och eb som är förstorad med 5, 865 cent: samma antal cent som de förminskade kvinterna är förminskade med.

Det är två rena kvinter färre i Werckmeister III jämfört med Werckmeister I. I gengäld är skillnaden mellan tonarterna mindre, vilket ger större frihet vid modulationer och vid val av tonart generellt. Det finns inga vargkvinter i den här stämningen, och alla tonarter - även de med många förtecken - fungerar generellt bra i den här stämningen.

Tabellen nedan visar centvärdena för Werckmeister III.
Ton c c# d eb e f f# g g# a bb b c
Cent 0 96,10 203,91 300,01 396,07 503,92 599,98 701,96 792,16 900,00 1001,95 1098,06 1200
Frekvens (Hz) 261,63 276,56 294,33 311,13 328,88 350,02 369,99 392,44 413,43 440,00 466,69 493,33 523,25

Lägg märke till att Werckmeister III påminner mycket om liksvävande stämning, som har centvärdena 0, 100, 200, 300, 400, 500, ..., 1200.

6. Liksvävande stämning
I slutet av 1500-talet introducerades den liksvävande stämningen i Europa. Det var dock först mot mitten av 1800-talet, när pianot blev ett populärt och utbrett musikinstrument, som det kom att bli det allra vanligaste stämningssystemet.

Idén bakom stämningssystemet uppstod redan omkring 300-talet f.kr., när den grekiska filosofen Aristoxenus skrev om något som påminner om liksvävande stämning. Senare har också många andra haft tankar om en liksvävande stämning, bland annat italienarna Giovanni Maria Lanfranco (ca. 1490 - 1545) och Vincenzo Galilei (ca. 1520 - 1591). Det var dock först 1585 som det togs fram en precis matematisk formel för den liksvävande stämningen som vi känner den idag. Det gjordes av den belgiska matematikern Simon Stevin (1548/49 - 1620), som dock - trots hans annars korrekta formel - räknade ut flera av värdena fel.

I liksvävande stämning stäms alla oktaver rena, medan alla de tolv halvtonsstegen stäms lika stora. Oktaven delas på så sätt upp i tolv lika stora intervall. Eftersom vi vet att oktavens frekvensförhållande är 2:1, ska avståndet mellan varje halvton motsvara ett tal som upphöjt i 12, alltså multiplicerat med sig själv tolv gånger, blir 2. Talet kallar vi här k, och värdet räknar vi ut med en potensregel:
k12 = 2 k = (= 1,059463094359295264561825)
Varje halvton har alltså ett frekvensförhållande lika med tolfteroten ur två, och man multiplicerar därför en tons frekvens med tolfteroten ur två för att få frekvensen på tonen en halvton ovanför. Gör man det tolv gånger når man oktaven, och har då fördubblat frekvensen.

Då avståndet mellan varje halvton är lika stort, har valet av grundton ingen betydelse när man stämmer. Resultaten blir detsamma. Den liksvävande stämningens uppbyggnad med godtycklig grundton kan därför illustreras så här:


Liksvävande stämning har en väldigt stor fördel jämfört med många av de tidigare stämningssystemen, nämligen att den tillåter att man spelar i vilken tonart som helst. Alla tonarterna låter likadant, bortsett från tonläget, och inga tonarter är mer eller mindre rena eller orena än andra. Det gör att man kan komponera musik i alla tonarter, och att man kan låta musikstycken modulera (byta tonart), utan att det har någon inverkan på renheten och karaktären i klangen.

I gengäld är alla intervallen utom oktaven stämda en liten aning falskt: kvinterna är exempelvis lite för låga, medan terserna är lite för höga. All musik vi hör är därför en liten smula falsk, och det är faktiskt ett stort ingrepp för vår hörsel. Idag har vi dock sedan länge vant oss vid det, och först när man hör en helt ren durtreklang och därefter en liksvävande, kan man uppleva en skillnad:

Nackdelen med att tonarterna har förlorat sina inbördes skillnader är att man går miste om många uttrycksmöjligheter. Förr i tiden hade det stor betydelse för ett musikstyckes klang och karaktär om man komponerade stycket i exempelvis c-dur eller c#-dur. Idag finns det inte längre några skillnader mellan tonarterna, och man kan därför inte i samma grad påverka ett musikstyckes uttryck genom att komponera det i en speciell tonart.

Den liksvävande stämningen kan ses som kulmen på många års försök att nå fram till det optimala stämningssystemet. Det är en matematisk omöjlighet att få alla intervall rena överallt i systemet, och även om den liksvävande stämningen har sina brister är systemet ändå en bra kompromiss, när man jämför med alternativen.

Tabellen nedan visar centvärdena för den liksvävande stämningen. Det finns en komplett översikt över frekvensen hos tonerna på ett piano stämt i liksvävande stämning här.
Ton c c#/db d d#/eb e f f#/gb g g#/ab a a#/bb b c
Cent 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Frekvens (Hz) 261,63 277,18 293,66 311,13 329,63 349,23 369,99 391,99 415,30 440,00 466,16 493,88 523,25

Lägg märke till att den stora tersen och kvinten är 13,69 cent respektive 1,96 cent för låga i förhållande till de helt rena frekvensförhållandena i övertonsserien.

7. Sammanfattning
I det här avsnittet står de olika stämningssystemens cent- och frekvensvärden tillsammans i en tabell. Det finns också flera ljudexempel på de olika stämningssystemen, så att du kan höra skillnaden mellan dem. Alla frekvensvärden och ljudexempel utgår från en stämning med c som grundton, där c ligger på 261,63 Hz, motsvarande dagens ettstrukna c (nyckelhåls-c).

Eftersom alla stämningssystemen, det liksvävande undantaget, kan varieras beroende på vilken metod man stämmer efter, är jämförelsen begränsad till följande varianter:
- den pythagoreiska stämningen är stämd med fem rena kvinter nedåt och sex rena kvinter uppåt
- dena stämningen är stämd efter metod 1 (tre fyrtoniga kvintserier med början i tonerna db, f och a)
- medeltonsstämningen är kvartskommamedelton stämd med tre rena kvinter nedåt och åtta rena kvinter uppåt
- den vältempererade stämning som valts är Werckmeister I

Intervallen angivna i tabellen nedan passar inte helt till alla stämningssystemen, eftersom det i flera av dem som bekant är en skillnad mellan exempelvis en liten sekund (c-db) och en överstigande prim (c-c#). De korrekta intervallen (tonnamnen) står i tabellerna i avsnitten som beskriver de enskilda stämningssystemen.

Halvton Intervall Liksvävanvde Vältempererad Medelton Ren Pythagoreisk
Cent Frekvens Cent Frekvens Cent Frekvens Cent Frekvens Cent Frekvens
0 Prim 0 261,63 0 261,63 0 261,63 0 261,63 0 261,63
1 Liten sekund 100 277,18 90,21 275,62 76,05 273,37 111,68 279,07 90,22 275,62
2 Stor sekund 200 293,66 192,17 292,34 193,17 292,51 203,91 294,33 203,91 294,33
3 Liten ters 300 311,13 294,11 310,07 310,26 312,98 315,64 313,95 294,11 310,07
4 Stor ters 400 329,63 390,21 327,77 386,31 327,03 386,31 327,03 407,82 331,12
5 Ren kvart 500 349,23 498,02 348,83 503,45 349,92 498,02 348,83 498,02 348,83
6 Tritonus 600 369,99 588,29 367,50 579,47 365,63 590,22 367,91 611,73 372,51
7 Ren kvint 700 391,99 696,08 391,11 696,60 391,22 701,96 392,44 701,96 392,44
8 Liten sext 800 415,30 792,16 413,43 772,63 408,79 813,69 418,60 792,18 413,43
9 Stor sext 900 440,00 888,27 437,03 889,75 437,40 884,36 434,04 905,87 441,49
10 Liten septima 1000 466,16 996,08 465,11 1006,85 468,01 1017,6 470,93 996,08 465,11
11 Stor septima 1100 493,88 1092,19 491,66 1082,89 489,03 1088,27 490,55 1109,78 496,68
12 Oktav 1200 523,25 1200 523,25 1200 523,25 1200 523,25 1200 523,25

Nedan är ett antal ljudexempel på de olika stämningssystemen. Ackordföljden är för alla stämningssystemen en diatonisk ackordföljd i c, allstå ackorden C-Dm-Em-F-G-Am-Bdim-C. Kadenserna är alla tonala kadenser, det vill säga ackorden C-F-G-C i c-dur, D-G-A-D i d-dur och C#-F#-G#-C# i c#-dur. I den pythagoreiska och den rena stämningen är kadensen i c# egentligen en kadens i db, eftersom det inte finns något c# i de varianter som valts ut av de två stämningarna.

Försök att jämföra klangen mellan de olika stämningssystemen, och lägg också märke till skillnaden i klang inom varje stämningsystem, beroende på om man spelar i c-dur, d-dur eller c#-dur. Särskilt c#-dur låter falskt i många av stämningssystemen.

Ackordföljd C-durskala D-durskala Kadens i C Kadens i D Kadens i C#
Liksvävande 
Vältempererad 
Medelton 
Ren 
Pythagoreisk